巨大的数学谜团——椭圆曲线，代数、几何和数论的完美结合

这些由非常简单的方程定义的曲线笼罩在神秘和优雅之中事实上，描述它们的方程非常简单，即使是高中生也能理解

可是，尽管世界上一些最伟大的数学家进行了不懈的努力，仍然有大量关于他们的简单问题没有得到解决但这还不是全部你很快就会看到，这个理论连接了所有重要的数学领域，因为椭圆曲线不仅仅是平面曲线

一个老问题

在数学中，一些几何问题可以转化为代数问题，反之亦然比如看一个几千年前的经典问题，正整数n是否等于边长为有理数的直角三角形的面积在这种情况下，n称为同余例如，6是一个全等数，因为它是一个边长为3，4和5的直角三角形的面积1640年，费马证明1不是同余数自费马证明以来，关于证明一个数是同余数的研究一直在进行

令人惊讶的是，我们可以用初等方法证明，对于每一组有理数，如果有的话，

我们可以找到两个有理数x和y，所以

反过来，对于每一个使y ^ 2 = x ^ 3—x且y≠0的有理数对，我们可以找到使a ^ 2 a^2+ b^2= c^2和1/2 AB = N的三个有理数a，b，c

也就是说，当y≠0时，一个面积为n的直角三角形正好对应对方程y ^ 2 = x ^ 3—x的理解，反之亦然数学家会说这两个集合之间有双射

所以当且仅当方程y ^ 2 = x ^ 3—x有一个理解且y≠0，n > 0是同余比如因为1不是同余数，所以对y ^ 2 = x ^ 2—x的唯一理解就是y = 0

具体对应如下，

如果我们在边长为3，4，5，面积为6的三角形上尝试这种对应，那么对应的解是= 这真是不可思议

椭圆曲线

一般来说，如果f表示一个非零判别式的三次多项式，那么y^2= f描述的是一条椭圆曲线，除了无穷远点。

现在，用一点代数技巧，我们可以对坐标做适当的改变，得到一个形式为

两条曲线上的有理点一一对应从现在开始，当我们说椭圆曲线时，我们指的是Y ^ 2 = X ^ 3+AX+B形式的曲线和无穷远处的一个点此外，我们假设系数a和b是有理数

椭圆曲线有两种典型的形状，如下图所示。

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但是，如果我们把x和y看成复变量，曲线看起来就完全不一样了它们看起来像甜甜圈

那么我们为什么要研究椭圆曲线，我们能用它做什么呢。

首先，许多数论问题可以转化为丢番图方程其次，椭圆曲线与称为格的离散几何对象有关，与称为模形式的一些非常重要的对象密切相关这些对象都是极对称的复变函数，包含了大量的数论信息

事实上，椭圆曲线与模形式的联系是证明费马大定理的关键安德鲁·怀尔斯在20世纪90年代通过几年的努力建立了这种联系，从而证明了费马大定理在密码学中，椭圆曲线也用于加密信息和进行在线交易

可是，它们最重要的特征是令人兴奋的事实，它们不仅仅是曲线和几何图形其实他们有一个代数结构叫做阿贝尔群结构，是一种用来在曲线上加点的几何运算对于阿贝尔群，你可以把它们看成一组对象，对它们进行运算，使它们除了可以是有限的以外，还具有与整数相同的结构

阿贝尔集团的例子有:

关于加法运算的整数。

顺时针旋转正方形90度的操作。

以向量为元素，以向量加法为运算的向量空间。

椭圆曲线的神奇之处在于，我们可以在椭圆曲线上的有理点之间定义一个运算，使得曲线上这些点的集合成为一个关于运算⊕和单位元的阿贝尔群。

我们来定义一下这个操作如果在曲线上取两个有理点，并考虑一条直线穿过它们，那么这条直线与曲线相交于另一个有理点我们称这个点为—R

现在，因为曲线关于x对称，我们得到另一个有理点r。

这个反射点就是上面提到的两点之和。我们可以写作

可以证明这个运算满足结合律，真的很意外另外无穷远处的点作为这个运算的恒等式，每个点都有一个逆点

一个大谜团

已经证明两条不同的椭圆曲线可以有完全不同的群一个重要的不变量，从某种意义上说，是最定义的特征，也就是所谓的曲线的秩

一条曲线可以有有限个有理点，也可以有无限个有理点我们感兴趣的是，根据上述加法规则，需要多少点来生成所有其他点这些生成器被称为基点

秩是维数的度量，就像向量空间的维数一样，表示有多少个独立基点具有无限阶如果曲线仅包含有限数量的有理点，则秩为零还是有群体的，但是有限

众所周知，计算椭圆曲线的秩非常困难，但是莫德尔告诉我们，椭圆曲线的秩总是有限的换句话说，我们只需要有限数量的基点来生成曲线上的所有有理点

数论中最重要也是最有趣的问题之一叫做Poche和Swinerton—戴亚猜想，完全是关于椭圆曲线的秩事实上，它是如此的困难和重要，以至于成为了千年难题之一

在有理系数的椭圆曲线上很难找到有理点一种方法是用模数来简化曲线p，其中p是一个质数这意味着我们不考虑方程y ^ 2 = x ^ 3+ax+b的可理解集，而是考虑同余

为了使它有意义，我们可能必须通过两边的整数相乘来消除分母。

所以我们考虑两个数字当我们除以p时，余数在这个新的空间中是相同和相等的这样做的好处是现在要查的东西有限让我们用N_p来表示模p的可理解的简化曲线的个数

20世纪60年代初，戴尔在剑桥大学的计算机实验室使用EDSAC—2计算机计算已知秩的椭圆曲线上取P范数的点数他和数学家布莱恩·约翰·伯奇一起研究椭圆曲线，在计算机处理了一串椭圆曲线后，其形式如下

对于X的增长，他们从与曲线E相关的数据中得到如下输出:y ^ 2 = X ^ 3—5x我应该注意到x轴是logloglogx，y轴是log y

在这张图上，北回归线的斜率似乎是1曲线E的秩是1当他们尝试不同等级的曲线时，他们每次都发现相同的模式拟合回归线的斜率似乎总是等于曲线的秩

更确切地说，他们提出了一个大胆的猜测。

这里c是一个常数这种计算机运算和高瞻远瞩使他们对s = 1时曲线的Hassell—Weil—function L的行为作了一个大概的猜测这个l函数定义如下

设曲线的判别式为δ那么我们可以将与E相关的L函数定义为如下的欧拉乘积

我们把它看作一个复变量的函数，s. Pochi和Swinerton—戴亚现在的猜测是这样的:

设e是上的任意椭圆曲线当s = 1时，曲线E的有理点的Abel群E的秩等于L 的零点的阶

很有远见，因为在那个时候，他们甚至不知道是否所有这样的L函数都有所谓的解析延拓问题是上面定义的L只有当Re > 3/2时才成立

它们都可以用解析延拓法在s = 1处求值，这在2001年被首次证明，与模形式的密切关系由Andrew wiles证明有时候这个猜想是用L函数的泰勒展开来表达的，但是用不同的方式表达了同一个东西有理数的字段可以用更一般的字段代替

椭圆曲线是数论，抽象代数和几何之间的一段优美的舞蹈除了我在这里描述的以外，还有很多关于他们的东西要说希望你能感受到或者看到一些震撼的东西